WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

«В.С. Белянин, С.Л. Василенко Золотые крупицы математики Родники мои серебряные, Золотые мои россыпи! В.С. Высоцкий. Дом хрустальный. Исторические изоморфизмы. Золотое ...»

В.С. Белянин, С.Л. Василенко

Золотые крупицы математики

Родники мои серебряные,

Золотые мои россыпи!

В.С. Высоцкий. Дом хрустальный.

Исторические изоморфизмы. Золотое сечение (ЗС) напрямую связано с числом пять,

более конкретно – с квадратным корнем из пяти.

В геометрическом построении корень из пяти – это путёвка в жизнь золотому сечению.

Свойства ЗС могут проявлять лишь числа, производные от 5. Это непосредственно

проистекает из алгебраического решения задачи деления целого в крайнем и среднем отношении. Естественным образом данная связь-закономерность нашла своё отражение в геометрии правильного пятиугольника, а также фигур и тел, с ним связанных.

Собственно именно отсюда всё и началось.

Во всяком случае, судя по геометрии Евклида.

В его "Началах" деление отрезка в крайнем и среднем отношении выполнено довольно замысловатым способом и не позволяет сразу судить о том, какая причина привела учёных древности к постановке такой задачи.

Однако высока вероятность того, что такое деление было необходимо для построения правильного пятиугольника.

Заметим, что саму пентаграмму особо никто не изобретал.

Человек мог её просто скопировать с натуры, даже, возможно, раньше, чем квадрат или треугольник, которые в природных образованиях встречаются крайне редко. Зато форму правильной пятилучевой звезды имеют 5-лепестковые цветы многих растений или морские звезды, которые наблюдаются людьми уже тысячи лет.



Особенно ярким остаётся впечатление от звезды, оставшейся на песке при океаническом отливе.

Золотые россыпи. За всю свою историю человек добыл на Земле порядка 140 тыс. тонн золота. Собранное в одном месте, оно образовало бы куб с длиной ребра 19,4 м или шар-ядро радиусом 12 м.

Можно сказать, что особо не впечатляет. Хотя каждая частица – "на вес золота".

Так и всевозможных вариантов сечения отрезка фиксированной длины или какой-либо заданной величины на две неравные части не счесть. Среди них золотое сечение, в силу его определения, – единственное. Своего рода уникальный "золотой самородок".

Но могут встречаться и самобытные сечения, названные нами "золотыми крупицами", извлекаемыми из "золотоносного песка". – Это особые сечения, которые не связаны напрямую с ЗС, но в своём числовом, формульном или геометрическом выражении содержат число (константу) золотого сечения Ф либо его обратное значение ф = Ф–1.

Насколько золотые крупицы велики, в каждой конкретной ситуации следует судить отдельно. Не исключено, что в ряде случаев подобная их взаимосвязь с золотым самородком

– чисто формальная, не отражающая значимых структурных отношений.

Тем не менее, каждая связь может свидетельствовать о скрытом присутствии золотого сечения в природе, и потому представляет определенный интерес.

Целью настоящей статьи как раз и является описание подобных взаимоотношений между "не золотой задачей" и золотым сечением.

Начнем с небольшого экскурса в историю математики.

Белянин, Василенко Золотые крупицы математики АТ

–  –  –

В процессе исследования у него возникла следующая проблема [3, с. 491]:

требуется прямую1 а рассечь в некоторой точке так, чтобы отношение первого её отрезка а – х к заданной прямой b равнялось отношению заданной площади ар к квадрату второго отрезка х2.

Поставленное требование деления отрезка приводит к пропорции a x ap = 2.





b x Её решение сиракузский математик обещал дать в конце сочинения, но в дошедших до нас текстах его не находится. Решение было найдено позже Дионисодором (ок. 230 до н.э.), Диоклом (ок. 180 до н.э.) и более поздним комментатором Архимеда – византийским ученым Евтокием (ок. 500 г.).

Этот характерный пример позволяет нам составить некоторое представление о задачах пропорциональных делений отрезков, которые приходилось решать математикам далекого прошлого. Задачи, приводящие к кубическим уравнениям, говорят о достаточно высоком уровне их знаний, если учитывать геометрическую специфику (направленность) античной математики того времени.

Факт деления отрезка на две неравные части не в золотой пропорции, а в других пропорциональных отношениях, использовался при решении различных задач и в работах средневековых арабских учёных.

В начале XI века Абу-л-Джуд Мухаммад ибн Лейс дал построение корня числового уравнения 10 x x 3 10 x 2 + 13,5 x + 5 = 0 x 2 + (10 x ) 2 + = 72, x как выражение задачи деления 10 на две части так, чтобы сумма их квадратов и частного от деления большей 10 – x на меньшую x равнялась 72 [4, с. 388]. Здесь x = 2.

Многие из арабских математиков занимались вопросами музыкальной науки и поиском пропорциональной связи высоты тона с длиной порождающей его струны.

Не углубляя эту тему, приведем лишь слова великого мыслителя и энциклопедиста средневекового Востока – Абу Насра аль-Фараби (870–950) [5, с.

85]:

«Отношение между тонами различной степени будет таким же, как отношение между длинами порождающих их струн».

Мы привели только несколько примеров из необъятного множества задач далекого прошлого, свидетельствующих вовсе не об элементарных делениях отрезков на пропорцию.

Поиски среди них "золотых крупиц" необходимо продолжить и пополнить ими сокровищницу золотого сечения.

2. Пропорция Гетальди Задачи пропорционального деления отрезков были предметом рассмотрения и математиков эпохи Возрождения, среди которых отметим известного итальянского математика Б. Кавальери (1598–1647) и менее именитого сербохорватского математика М. Гетальди (1566–1627). Последний был хорошим знатоком научного творчества греческих авторов и занимался приложениями алгебраических методов в геометрии.

Мастерски решая задачи на построения, в книге «О математическом анализе и синтезе»

он рассмотрел ряд тематических задач на деление отрезков и, в частности, такую нетривиальную проблему [6]:

разделить данный отрезок так, чтобы прямоугольник, построенный на частях, равнялся квадрату, построенному на разности частей.

Фиксированный отрезок прямой античные ученые называли просто "прямой".

Белянин, Василенко Золотые крупицы математики АТ

–  –  –

То есть в роли средних членов пропорции выступает разность между двумя частями.

Крайними членами являются сами части.

Возвращаясь к корням x1, 2 квадратного уравнения, заметим, что для единичного

–  –  –

Итак, "золотая крупица", описанная в этом разделе и найденная благодаря пропорции Гетальди, вполне может располагаться рядом с "золотым самородком" – золотым сечением.

Белянин, Василенко Золотые крупицы математики АТ

3. Еще одна пропорция из «золотых крупиц»

Рассмотрим пропорцию, которая приводит к видоизмененному уравнению, полученному из пропорции Гетальди.

Наша задача: определить физический смысл уравнения, похожего на выше рассмотренный трином (1), с измененным в нём знаком свободного члена на минус:

x 2 x 1 5 = 0 или в общем виде x 2 x 1 q = 0, где q – произвольное число.

При этом можно перейти от геометрического толкования к некоторому абстрактному объекту и сформулировать свойство пропорции для любого заданного значения q.

Свойства сечения, вытекающего из данного уравнения, наглядно видны на примере геометрического сопоставления частей линейного отрезка, в частности при q = 5 (рис. 4).

–  –  –

На основе уравнений (3)–(5) можно сравнительно легко получить и другие несложные степенные формулы числа ЗС, выраженные только через числа Фибоначчи или Люка.

Так, формула с использованием чисел Фибоначчи имеет вид:

–  –  –

Итак, сумма длин сторон правильных пяти- и десятиугольника так относится к длине стороны правильного шестиугольника как она к их разности.

Приведенное отношение не является пропорцией, поскольку решать здесь нечего. Всё определено. Мы просто фиксируем готовое решение в виде элегантного тождестваотношения, которое содержит числа золотого сечения и Ф.

Задачу можно было сформулировать изначально в общем виде: определить, стороны каких трёх правильных многоугольников удовлетворяют соответствующему соотношению.

–  –  –

где n – оценка иррационального числа золотого сечения Ф с использованием n-го целого числа Люка Ln.

Например, для L50 =17393796001 и всего лишь 5-кратной "дроби-этажерки" (k = 5) получаем порядок приближения 10 –123.

Сходимость цепных дробей (9) просто потрясающая.

С каждым очередным "этажом" цепной дроби точность аппроксимации увеличивается на величину Ln2.

Задавая достаточно большие взаимосвязанные числа Люка и Фибоначчи и количество членов k цепной дроби [ Ln..], можно достичь невероятно огромных скоростей приближения к числу золотого сечения Ф.

Белянин, Василенко Золотые крупицы математики АТ

–  –  –

Такое впечатление, что сходимость бьёт все рекорды.

Воистину от "малого до великого" один шаг.

Это ещё одна, пока малознакомая и слабоизученная грань золотого сечения, осмыслить которую ещё предстоит.

Если классическое представление ЗС в виде математической пропорции условно отражает статику, то в соотношении (9) сокрыта динамическая составляющая золотого сечения, перекрывающая теоретически весь диапазон возможных скоростей: от минимальной до максимальной.

Здесь прослеживается связь с описанием многих моделей: Большой взрыв, развитие раковых клеток, ядерная цепная ядерная реакция деления тяжёлых ядер и др.

8. Некоторые итоги

a) Найдены соотносимые с золотым сечением "золотые крупицы" не в природе или в творениях рук человеческих из далекого прошлого, что всегда спорно (так как к одному и тому же результату можно придти разными способами), а исключительно в недрах математики. Причем затронуты различные её разделы: геометрия, алгебраические уравнения, возвратные последовательности, цепные дроби.

b) Показано, что деление отрезка в пропорциональных отношениях, берущее начало в глубокой древности, было продолжено в последующие века с всё возрастающим уровнем сложности.

Среди задач деления отрезка имеются такие, которые приводят в своем решении к числам золотого сечения. Продемонстрирована одна подобная задача, позаимствованная из творчества математика Гетальди.

На её основе предложена и решена новая задача, которая, несомненно, войдет в фонд "золотых крупиц".

c) Рассмотрены различные семейства квадратных уравнений, решения которых приводят к целочисленным степеням числа золотого сечения n.

Показано, что с числами Фибоначчи и Люка связано не только число золотого сечения Ф, но и его целочисленные степени.

Это уже примеры "золотых крупиц", выходящие за рамки геометрии.

d) Обнаружено, что соотношение между сторонами правильных пяти–, шести– и десятиугольника может быть записано изящным образом благодаря выражению сторон пяти– и десятиугольника через числа золотого сечения и Ф.

e) Уточнены детали полученного ранее одним из авторов разложения числа золотого сечения в виде цепной дроби. Приведенный пример демонстрирует потрясающую скорость приближения к числу золотого сечения Ф. На наш взгляд, это одна из самых ярких "золотых крупиц" последнего времени.

Белянин, Василенко Золотые крупицы математики АТ

f) Размер и задуманная форма изложения представленной статьи не смогли вместить весь материал, который имеется у авторов по рассматриваемым вопросам. Расширенный объёмный вариант статьи после доработки, возможно, будет опубликован в дальнейшем.

Литература:

1. Геометрия. 7–9 классы: учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. Рыбников К.А. История математики (В 2-х томах) Т.1. – М.: Изд. МГУ, 1960. – 192 с.

– http://lib.mexmat.ru/books/14651.

3. Архимед. Архимед. Сочинения / Перевод и комментарии И.Н. Веселовского. – М.:

Физматгиз, 1962. – 640 с. – http://padabum.com/d.php?id=9362.

4. Юшкевич А.П., Розенфельд Б.А. Математика в странах Востока в средние века / Из истории науки и техники в странах Востока. Сб. статей. – М.: Изд-во восточной литературы, 1960. – С. 388.

5. Аль–Фараби. Большая книга музыки / Французский перевод: R. d’Erlander, La Musique arabe, v.1. – Paris, 1930.

6. Ghetaldi M. De resolution et compositione mathematica, libri quinque. Opus posthumum, Rome, 1630.

7. Белянин В.С. Таинство чисел золотой пропорции. 2. Удивительная числовая последовательность // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 2011. – http://www.artmatlab.ru/articles.php?id=21&sm=2.

8. Начала Евклида. Книги I–VI: Пер. с греч. и комментарии Д.Д. МордухайБолтовского при редакционном участии М.Я. Выгодского и И.Н. Веселовского. – М. –Л.:

ГИТТЛ, 1948. – 448 с.

9. Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. – England: Penguin Books, 1986.

10. Bernoulli D. Observationes de seiebus, quae formantur ex additione vel subtraction quacunque terminorum se mutuo consequentium, ubi praesertim earundem insignis usus pro inveniendis radicum omnium aequationum algebraicarum ostenditur. – Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae ad annum MDCCXXVIII, 1732, t. III, p. 85–100.

11. Нифанин А.Б., Ткач Д.И. Графоаналитическая интерпретация степенного ряда золотой пропорции и золотые логарифмы // Научные заметки: Луцкий НТУ – 2008. – Вып. 22, т. 1. – http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/nn/texts.html.

12. О длинах сторон правильного пятиугольника и правильного десятиугольника // Математическое просвещение. – 2002. – Сер. 3, вып. 6. – С. 130–131.

13. Граве Д.А. Трактат по алгебраическому анализу (В 2-х томах). Т. 2. Исторический обзор. – К.: Изд. АН УССР, 1939. – 412 с.

14. Василенко С.Л. Златые цепи // Академия Тринитаризма. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15557, 22.09.2009. – http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161546.htm.

15. Хинчин А.Я. Цепные дроби: Изд. 4-е, стереотип. – М.: Наука, 1978. – 112 с.

Похожие работы:

«БОЛЬШАЯ ИСТОРИЯ ФАВОРИТЫ П РА В И Т Е Л Е Й РОССИИ Москва, 2012 УДК 82-94 ББК 66.3(2Рос)8 М33 Матюхина, Ю. А. Фавориты правителей России / [Ю. А. Матюхина]. – М. : РИПОЛ М33 классик, 2012. – 416 с. –...»

«УДК 908(571.51)“18/19” Карчаева Татьяна Геннадьевна Karchaeva Tatyana Gennadyevna кандидат исторических наук, PhD in History, Assistant Professor, доцент кафедры истории России Russian History Department, Гуманитарного и...»

«В. И. АЛЕКСЕЕВ Невидимая Россия ИЗДАТЕЛЬСТВО ИМЕНИ ЧЕХОВА Нью-Йорк 19 5 2 CoPYHioHT, 1952 BY C h e k h o v P u b l i s h i n g House t h e E a s t E u r o p e a n F u n d, Inc..S.Ai Primmed N THE ПРЕДИСЛОВИЕ Василий Иванович Алексеев, автор "Невидимой России", родился в 1906 году во Владимире. Вскоре по...»

«Сергей Бузинин Люди и Флаги "Литературный Совет" Бузинин С. В. Люди и Флаги / С. В. Бузинин — "Литературный Совет", 2013 ISBN 978-5-457-49104-5 Воздействие, приведшее историю к глобальным изменениям, может быть точечным – срабатывает "эффект бабочки". А может оказаться сродни удару тарана в вор...»

«Виктор Кимович Губарев Экспедиция сэра Фрэнсиса Дрейка в Вест-Индию в 1585–1586 годах Серия "Пираты, корсары, флибустьеры" Текст предоставлен правообладателем http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=18536131 Экспедиция сэра Фрэнсиса Дрейка в Вест-Индию в 1585-1586 годах: Горизонт; 2016 ISBN 978-5-906858-11-5 Аннотация Новая...»

«НЕКЛЮДОВ Евгений Георгиевич УРАЛЬСКИЕ ЗАВОДЧИКИ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА: ВЛАДЕЛЬЦЫ И ВЛАДЕНИЯ Специальность 07.00.02 – Отечественная история Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора исторических наук Екатеринбург Работа выполнена на кафедре археологии, этнологии и специал...»

«ФГБОУ ВПО "ЧЕЛЯБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ КУЛЬТУРЫ И ИСКУССТВ" ЧЕЛЯБИНСКАЯ ЕПАРХИЯ РУССКОЙ ПРАВОСЛАВНОЙ ЦЕРКВИ Одиннадцатый Славянский научный собор "УРАЛ. ПРАВОСЛАВИЕ. КУЛЬТУРА" 45-летию Ч...»

«Московская олимпиада школьников по истории 2015 10 класс. Заключительный этап Уважаемый участник! При записи ответов в бланк просим вас нумеровать задания, включая обозначения подпунктов.1. Перед Вами – набор плакатов и карикатур периода Великой Отечествен...»

«ДЬЯВОЛ И ДЖИННЫ Автор: Administrator 04.03.2009 18:00 Обновлено 07.07.2009 21:50 ДЬЯВОЛ И ДЖИННЫ Джинны – незримые для людей разумные существа, созданные Богом наряду с людьми и ангелами. Последним Божественным Писанием для джиннов со времен Пророка Мухаммада (да благословит его Всевышний и приветствует) является Священный...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.