WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

«Екатерина Вадимовна БУЛИНСКАЯ профессор кафедры теории вероятностей Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова 18 мая 2012 года Е.В.Булинская Случайные процессы Е.В.Булинская ...»

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

для математиков

Екатерина Вадимовна БУЛИНСКАЯ

профессор кафедры теории вероятностей

Московский государственный университет имени

М.В.Ломоносова

18 мая 2012 года

Е.В.Булинская Случайные процессы

Е.В.Булинская Случайные процессы

План доклада

История случайных процессов

Цели курса лекций

Семинарские занятия и индивидуальная

работа со студентами

Преподавание теории случайных процессов

в ведущих научных центрах

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Понятие случайного процесса является одним из важнейших не только в современной теории вероятностей, но и в естествознании, инженерном деле, экономике, теории связи и других областях.

Оно позволяет описывать динамику развития изучаемого случайного явления во времени.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Создание и развитие математической теории случайных процессов началось в XX веке1 2 и было связано с трудами А.Н.Колмогорова (1903-1987), А.Я.Хинчина (1894-1959), Е.Е.Слуцкого (1880-1948), Н.Винера (1894-1965), Дж. Дуба (1910-2004), П.Леви (1886-1971), В.Феллера (1906-1970) и многих других ученых.

А.Н.Ширяев "Вероятность -2". МЦНМО, 2004, Очерк истории становления математической теории вероятностей, с. 875-898.

А.В.Булинский "История случайных процессов", сайт кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ.



Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Случайный процесс – это семейство случайных величин {X (t), t T }, заданных на некотором вероятностном пространстве (, F, P) и некотором промежутке T R.

Точнее говоря, случайный процесс - это действительная функция X = X (, t) двух переменных и t T такая, что X (·, t) является случайной величиной при каждом t T.

Параметр t интерпретируется как время. Таким образом, X (t) представляет собой состояние (исследуемой) "системы" в момент t.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов При фиксированном функция X (, ·) называется траекторией (или реализацией) процесса. Обычно аргумент опускают и пишут X (t).

Разумеется, можно рассматривать случайный процесс, заданный на каком-либо вероятностном пространстве (, F, P) и произвольном параметрическом множестве T.

Если T Rd и d 1, то говорят о случайном поле.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Возможны и дальнейшие обобщения, например, исследуются процессы, у которых величины X (t) принимают значения в абстрактном пространстве S, снабженном -алгеброй B (при каждом t T величина X (t) является F|B-измеримой).

Наряду с термином случайный процесс (определенный на некотором множестве T ) как синоним используется термин случайная функция.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Заметим, что динамика случайных явлений фактически присутствовала и в ряде классических задач, вовлекавших рассмотрение последовательности случайных величин X1, X2,....

Достаточно упомянуть первую предельную теорему теории вероятностей – закон больших чисел, установленный Бернулли3. Трехсотлетие этого закона будет отмечаться в 2013 году.

Я.Бернулли (1654-1705), его закон больших чисел опубликован посмертно в 1713 году.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Тем самым "частота" появления "успехов" (т.е.

единиц) сходится в указанном смысле с ростом n к вероятности "успеха" в отдельном испытании.

Развитие этого направления в теории случайных процессов привело к рождению эргодической теории. В этой связи достаточно упомянуть эргодическую теорему Биркгофа – Хинчина и субэргодическую теорему Кингмана – Лиггетта.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Например, с помощью последней теоремы устанавливается теорема Фюрстенберга – Кестена, утверждающая следующее. Пусть X 1, X 2,... – стационарная последовательность d d-матриц с положительными элементами, логарифм которых интегрируем по мере P.

Тогда найдется случайная величина Y такая, что для матричных элементов X 1... X n при всех i, j {1,..., d} имеем n1 log(X 1... X n )i,j Y п.н. и в L1 (, F, P), n.

–  –  –

Стационарность4 означает инвариантность конечномерных распределений указанной последовательности относительно сдвигов в пространстве индексов N.

Выдающийся вклад в эргодическую теорию внесен Я.Г.Синаем и его школой.

Имеется также понятие стационарности в широком смысле, играющее важную роль в нахождении канонических представлений случайных процессов.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Здесь же упомянем интенсивно развивающуюся область изучения случайных операторов и их спектров.

Более того, оказалось, что изучение спектров бесконечных случайных матриц имеет непосредственное отношение к знаменитой гипотезе Римана о нулях -функции.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Имелся ряд импульсов к возникновению нового раздела теории вероятностей.

Считается, что основной из них дала физика.

Напомним, что в 1827 году шотландский ботаник Р.Броун (1773-1858) обнаружил под микроскопом хаотическое движение частиц цветочной пыльцы в воде.

Е.В.Булинская Случайные процессы Рис. 1. Броуновское движение.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Однако природа этого движения, получившего название броуновского, долго оставалась невыясненной.

Только в конце XIX – начале XX века было осознано, что оно представляет собой одно из проявлений теплового движения атомов и молекул вещества.

Оказалось, что для описания процессов такого рода требуются вероятностно-статистические подходы.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Математические и физические модели броуновского движения и более общих процессов диффузии были построены А.Эйнштейном (1879-1955), М.Смолуховским (1872-1917), М.Планком (1858-1847), А.Фоккером (1887-1972), П.Ланжевеном (1872-1946), Н.Винером (1894-1964) и другими учеными.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов





Интересно отметить, что в диссертации Л.Башелье (1870-1946), написанной в 1900 году под руководством А.Пуанкаре (1854-1912), "La Thorie de la Spculation"(1900) впервые, на 5 e e лет раньше физиков, предложена модель для описания флуктуаций на бирже курсов ценных бумаг, которая содержала математическую теорию броуновского движения.

Эта работа долго оставалась без должного внимания.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Среди важных предпосылок создания теории случайных процессов следует назвать "цепную зависимость", введенную А.А.Марковым (1856-1922) в 1906 году.

Удивительно, что построенная модель случайных величин, получившая название цепи Маркова, возникла при изучении им расположения комбинаций гласных и согласных букв в тексте романа "Евгений Онегин" и лишь позднее была использована и обобщена в ряде физических исследований.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

На сегодняшний день создана мощная теория марковских процессов, имеющая разнообразные применения, в частности, в биологии. Интерес представляет и теория марковских случайных полей, возникшая на основе теории марковских процессов.

Марковские цепи и поля находят приложения и при распознавании образов. Упомянем также широко известный метод Монте-Карло марковских цепей (английская аббревиатура MCMC).

Укажем на книги Е.Б.Дынкина, Ю.А.Розанова, Р.Киндермана, Н.Бремо, Г.Винклера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Ф.Лундбергом (1876-1965) в его диссертации (1903) была введена модель, описывающая деятельность страховой компании.

В этой работе впервые возник так называемый пуассоновский процесс, который позднее стал использоваться при изучении радиоактивного распада и в ТМО.

В теории страхования ныне широко известны модели Крамера – Лундберга и Спарре – Андерсена. В первой используется процесс Пуассона, во второй – процесс восстановления для описания поступления исков.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Процессы с "дискретным вмешательством случая" и идеи, восходящие к классическим задачам геометрических вероятностей (например, о "случайном бросании" на плоскость точки или иглы) привели позднее к созданию теории точечных случайных процессов (см., например, монографию Д.Штояна и Г.Штояна).

В настоящее время маркированные точечные процессы широко используются в моделях страхования.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Отметим также модель Гальтона – Ватсона, относящуюся к анализу вымирания аристократических фамилий в Великобритании.

Эта модель сформировалась в 1873 году в ходе переписки Ф.Гальтона (1822-1911) и Г.Ватсона (1827-1903), приведшей к "теореме вырождения".

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Она послужила основой для развития во второй половине XX века теории ветвящихся процессов, изучающей эволюцию семейств рождающихся и гибнущих частиц, а также взаимодействия частиц различных типов.

Отметим труды А.Н.Колмогорова, Н.А.Дмитриева (1924-2000), Б.А.Севастьянова, Р.Беллмана (1920-1984), Т.Харриса (1919-2005), П.Ягерса и их последователей.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Выдающуюся роль в создании общей теории случайных процессов сыграли статьи А.Н.Колмогорова "Об аналитических методах в теории вероятностей"(1931) и А.Я.Хинчина "Теория корреляции стационарных стохастических процессов"(1934).

Однако прочный фундамент для теории случайных процессов (как и всей теории вероятностей) был заложен в 1933 году благодаря аксиоматике Колмогорова.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Классическая теорема Колмогорова дает условия, при которых на некотором пространстве (, F, P) существует случайный процесс {X (t), t T } c заданными конечномерными распределениями, т.е. мерами, представляющими собой законы распределения векторов (X (t1 ),..., X (tn )), где t1,..., tn T и n N.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Случайный процесс {X (t), t T }, где T R, называется цепью Маркова, если величины X (t) при всех t T принимают значения в конечном или счетном множестве S (точки которого удобно отождествить с их номерами) и выполнено следующее соотношение. Для всех i1,..., in, i, j S, s1... sn s t, s1,..., sn, s, t T и n N P(X (t) = j|X (s1 ) = i1,..., X (sn ) = in, X (s) = i) = P(X (t) = j|X (s) = i), когда P(X (s1 ) = i1,..., X (sn ) = in, X (s) = i) = 0.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Смысл данного определения состоит в том, что поведение "системы" в момент времени t при заданных состояниях в предшествующие моменты времени s1,..., sn, s зависит только от ее состояния в последний момент s, предшествующий t.

Обычно рассматриваются цепи Маркова с дискретным или непрерывным временем, т.е.

когда соответственно T = Z+ или T = [0, ).

–  –  –

где s t (s, t T ), и начальным распределением P(X (0) = i), i, j S.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Теория случайных процессов бурно развивалась в XX-м веке. Возникли обширные новые направления этой теории. Например, исследования А.К. Эрланга (1878-1929), связанные с изучением загрузки телефонных сетей, привели к формированию теории массового обслуживания ("теории очередей").

В этой области выделяются работы Б.В.Гнеденко (1912-1995), И.Н.Коваленко, Ю.К.Беляева и А.Д.Соловьева (1927-2001).

Ныне эта теория охватывает новые области исследований, например, транспортные сети.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Введение К.Ито (1915-2008) стохастического интеграла, называемого ныне интегралом Ито, привело к созданию стохастического исчисления и мощной теории стохастических дифференциальных уравнений.

Например, уравнение Ланжевена для скорости V = V (t) движения частицы в жидкости может быть записано в виде

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов где a и b - числовые коэффициенты, характеризующие массу частицы и вязкость среды, а W = W (t) – винеровский процесс (броуновское движение).

Поразительный факт заключается в том, что почти все (по мере P) траектории винеровского процесса не дифференцируемы ни в одной точке t [0, )!

Поэтому приведенное уравнение следует понимать как формальную запись некоторого интегрального соотношения, вовлекающего интеграл Ито.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Для привлечения внимания слушателей к этой области исследований отметим, что методы стохастического анализа позволили решить сложные и важные задачи выделения ("фильтрации") сигнала на фоне шума. В этой связи упомянем известный фильтр Кальмана-Бьюси.

Более того, отметим, что ныне на передний край выходят исследования стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Отдельного упоминания заслуживают разнообразные задачи оптимального управления случайными процессами. Например, задачи нахождения (в определенном смысле) оптимальных режимов функционирования сложных систем.

Теория гиббсовских случайных полей, заложенная в 60-е годы прошлого века в работах Р.Л.Добрушина (1929-1995), О.Лэнфорда и Д.Рюэля, позволила, например, интерпретировать фазовые переходы состояний вещества.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Теория автомодельных процессов, инициированная А.Н.Колмогоровым в 40-е годы XX-го столетия, обеспечила прогресс в изучении турбулентности. Оказалось, что автомодельность свойственна многим физическим процессам.

Дальнейшее развитие этой теории "фрактальности" связано с работами Б.Мандельброта и его последователей.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Отдельно отметим, что возникли новые разделы математической статистики, относящиеся к изучению случайных процессов (в частности, прогноз и интерполяция). В этой связи укажем на исследования У.Гренандера, И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского.

Важную роль в современных условиях играет и моделирование (на компьютере) случайных процессов и полей.

Можно сказать, что сейчас существует целый ряд самостоятельных направлений исследований в теории случайных процессов, некоторые из них были упомянуты выше.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Как правило, выделяются достаточно широкие классы случайных процессов и для их изучения используется соответствующий набор методов.

По семействам независимых случайных величин (более общим образом, случайных элементов), которые существуют в силу теоремы Ломницкого - Улама5, возможно строить новые случайные функции. Так, например, определяются процессы восстановления".

А.Ломницкий (1881-1941), С.Улам (1909-1984).

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

где t [0, ) и сумма по пустому множеству индексов (т.е. когда X1 t) считается равной нулю.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Если "поломки" некоторого устройства происходят в случайные моменты X1, X1 + X2, X1 + X2 + X3,..., и мгновенно производится устранение этих поломок, то Y (t) дает общее число восстановлений за время от 0 до t.

Заметим, что анализ траекторий сумм независимых случайных величин (иначе говоря, случайных блужданий) нашел применения в теории полимеров.

Большой интерес представляют также случайные блуждания в случайной среде.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Важный класс образуют процессы с независимыми приращениями. В этот класс входят броуновское движение (называемое также винеровским процессом) и пуассоновский процесс.

В связи с задачами стохастической финансовой математики большое значение приобрели также процессы Леви.

Обширный и хорошо изученный класс составляют гауссовские процессы.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Действительный гауссовский процесс {X (t), t T } - это процесс, у которого все конечномерные распределения являются гауссовскими, т.е. при любом n N и произвольных t1,..., tn вектор (X (t1 ),..., X (tn )) гауссовский.

Другими словами, характеристическая функция этого вектора имеет вид

–  –  –

где (·, ·) - скалярное произведение в Rn, i 2 = 1, = (1,..., n ) Rn, вектор a = (a1,..., an ) Rn и n n-матрица C = (ck,r ) симметрична и обладает свойством неотрицательной определенности (ak = EX (tk ) и ck,r = cov(X (tk ), X (tr ))).

–  –  –

Заметим, что компоненты гауссовского вектора X (t1 ),..., X (tn ) независимы в том и только том случае, когда cov(X (tk ), X (tr )) = 0 при всех k = r (k, r {1,..., n}). Броуновское движение является гауссовским процессом. Множество глубоких результатов относится к изучению траекторий гауссовских процессов (и полей).

Например, найдены необходимые и достаточные условия непрерывности траекторий.

Исследованы такие важные задачи, как нахождение асимптотики вероятности выброса процесса за высокий уровень u (когда u ).

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Рис. 2. Реализация гауссовского случайного поля.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов В XX-м веке наряду с марковской зависимостью появились и другие важные определения, приводящие к новым классам процессов.

Достаточно напомнить определение процессов, представляющих собой мартингалы (имеются также субмартингалы и супермартингалы).

Этот класс задается с помощью фильтрации, т.е.

семейства -алгебр Ft, где t T R, обладающих свойством "возрастания":

–  –  –

Действительный случайный процесс {X (t), t T } называется мартингалом относительно фильтрации (Ft )tT, если величина X (t) является Ft |B(R)-измеримой при любом t T и E(X (t)|Fs ) = X (s) для всех s, t T таких, что s t. Здесь E(·|Fs ) обозначает условное математическое ожидание относительно -алгебры Fs. Оказалось, что класс мартингалов (и более общий класс семимартингалов) играет важнейшую роль в теории стохастических дифференциальных уравнений.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Во второй половине XX-го века стали исследоваться процессы и поля с перемешиванием, а начиная с 70-х годов - процессы и поля, обладающие различными формами положительной или отрицательной зависимости. Часто положительную зависимость называют ассоциированностью. В физической литературе используются близкие условия, носящие название ФКЖ-неравенств (по имени К.Фортуина, П.Кастелейна (1924-1996) и Ж.Жинибра, которые в 1971 году ввели эти условия)6.

См. монографию А.В.Булинский, А.П.Шашкин "Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем" Физматлит, 2008.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Такие неравенства и их аналоги оказались полезными в задачах теории перколяции (или просачивания).

Простейший вариант такой задачи был сформулирован в 1957 году С.Бродбентом и Дж.Хаммерсли (1920-2004). Поместим пористый камень в емкость с водой. С какой вероятностью вода попадет в заданную точку этого камня?

Формализуется задача следующим образом.

Представим себе камень как множество "широких"и "узких"каналов.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Удобно рассматривать камень как решетку Zd (при d = 3) и считать каналами ребра, соединяющие соседние вершины (для которых x y = 1, где x; y Zd и u = d =1 |uk |, u Zd ).

k Пусть каждое ребро Zd является открытым ("широким") с вероятностью p и закрытым ("узким") с вероятностью 1 p, причем все ребра открываются или закрываются независимо друг от друга (0 p 1).

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Спрашивается, при каких p на решетке Zd возникает бесконечный путь из открытых каналов (имеются и другие формулировки).

Доказывается, что ответ на поставленный вопрос зависит от того, больше или меньше p некоторой критической вероятности pc (d).

Дальнейшему развитию этой проблематики посвящены, например, книги Г.Кестена и Дж.Гримметта.

Е.В.Булинская Случайные процессы1. История случайных процессов

Во второй половине прошлого века были установлены глубокие взаимосвязи между изучением процессов (полей), заданных на дискретных и непрерывных параметрических множествах, а также исследованы распределения процессов в различных функциональных пространствах.

Огромный вклад в эту область функциональных предельных теорем внесли А.Н.Колмогоров, Ю.В.Прохоров, А.В.Скороход, В.Штрассен, А.А.Боровков, А.Н.Ширяев, Ж.Жакод и другие ученые.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Новые проблемы, требующие развития теории случайных процессов и полей, возникают в биологии и медицине.

Усилия многих математиков направлены также на развитие актуарной и стохастической финансовой математики.

Интересно, что вероятностные идеи используются в различных математических областях. Например, в комплексном анализе хорошо известно уравнение Левнера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Известно, что крупные достижения в науке возникают на стыке нескольких областей.

Отметим, что в 2006 году А.Ю.Окунькову была присуждена премия Филдса "за достижения, соединяющие теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию".

В 2010 году С.К.Смирнов был удостоен премии Филдса за работы в области теории перколяции и исследование скейлинговых пределов в моделях статистической физики.

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов

–  –  –

Е.В.Булинская Случайные процессы

1. История случайных процессов Даже на простых примерах, рассмотренных выше, мы видим, что часто новое рождается в недрах старого и со временем вырастает в отдельную область исследований.

К сожалению, нет возможности отметить даже все основные направления исследований современной теории случайных процессов, а тем более остановиться на замечательных результатах целого ряда выдающихся ученых.

Мы не останавливаемся и на достижениях сотрудников кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, поскольку они отражены на их индивидуальных страницах.

–  –  –

1755 г. – основан Московский университет, 1933 г. – создан механико-математический факультет (разделением физико-математического факультета на два факультета), 1935 г. – организована кафедра теории вероятностей.

–  –  –

Кафедра теории вероятностей является одним из основных центров по подготовке специалистов и научным исследованиям в области теории вероятностей и математической статистики в нашей стране.

Многие поколения советских и российских ученых в этой области науки считают себя непосредственными питомцами этой кафедры.

–  –  –

С 1996г. по настоящее время заведующий Академик РАН Альберт Николаевич Ширяев Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций На мех-мате 2 потока математиков, для одного из них (6 групп) кафедра теории вероятностей читает лекции и ведет упражнения по Теории вероятностей (4 семестр), Математическая статистика (5 семестр), Теория случайных процессов (6 семестр), лекторы:

Проф. А.В.Булинский (2012г., 2009г., 2007г.,...), Проф. Е.В.Булинская (2011г., 2010г., 2008г.,...).

Для другого потока аналогичные курсы читаются кафедрой математической статистики и случайных процессов, созданной А.Н.Колмогоровым в 1966 г.

–  –  –

Такая система сложилась постепенно.

В 50-60-е годы для потока математиков читался только полугодовой курс теории вероятностей (в 5 семестре). Таким образом, специализация теория вероятностей выбиралась до того, как был прослушан соответствующий курс. Более того, курсовые работы начинались не с 3 курса, как сейчас, а со 2 курса.

Математическая статистика (6 семестр) и случайные процессы (7 и 8 семестры) читалась только для группы теории вероятностей.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Случайные процессы (годовой курс для специализации теория вероятностей) читали А.Н.Колмогоров, Р.Л.Добрушин, Ю.В.Прохоров, А.М.Яглом, позднее А.Д.Вентцель, М.И.Фрейдлин, А.Н.Ширяев, Е.В.Булинская.

В 1972г. в МГУ был издан учебник А.Н.Ширяева "Случайные процессы"по материалам его лекций.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

В 70-е годы ввели годовой курс теории вероятностей и математической статистики (4 и 5 семестры) для потока математиков.

А затем, на основании многочисленных анкет выпускников мех-мата, которые отмечали, что для работы им нехватает знаний по случайным процессам, в 6 семестре был введен такой курс.

Но даже после этого для специализации теория вероятностей годовой курс случайных процессов читался отдельно от общего курса до середины 90-х годов.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций В настоящее время группа "теории вероятностей" слушает общий курс "Теория случайных процессов", но есть "Дополнительные главы случайных процессов".

1993 г. – создание "экономического потока"(случайные процессы читаются отдельно).

1996 г.– специализация "актуарно-финансовый аналитик"(слушают общий курс случайных процессов, но есть обязательные спецкурсы, касающиеся стохастического исчисления).

–  –  –

Автор: профессор кафедры теории вероятностей А.В.Булинский

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Направление подготовки – МАТЕМАТИКА Квалификация (степень) выпускника – бакалавр (дипломированный специалист, магистр) Форма обучения – очная

–  –  –

1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины (модуля) "Теория случайных процессов" являются фундаментальная подготовка в области построения и анализа сложных стохастических моделей, овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в разнообразных приложениях.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО Семестровый курс "Теория случайных процессов" входит в цикл вероятностных дисциплин в базовой части обучения.

Этот цикл состоит их трех взаимосвязанных частей (два предшествующих семестровых курса – "Теория вероятностей", "Математическая статистика").

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам:

математический анализ, комплексный анализ, алгебра, дифференциальные уравнения, функциональный анализ.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Знание теории случайных процессов может существенно помочь при построении и анализе сложных стохастических моделей, возникающих в физике, химии, биологии, медицине, экономике, финансовой и актуарной областях, а также в технике.

Кроме того, методы теории случайных процессов широко применяются в целом ряде направлений современной математики.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

ОБУЧАЮЩИЙСЯ ДОЛЖЕН

1) ЗНАТЬ определения и свойства основных объектов изучения теории случайных процессов, а также формулировки наиболее важных утверждений, методы их доказательства, возможные сферы приложений.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

2) УМЕТЬ решать задачи вычислительного и теоретического характера в области случайных процессов, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать как излагавшиеся утверждения, так и родственные им новые.

3) ВЛАДЕТЬ разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания различных методов, для описания и анализа сложных стохастических моделей.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

4.Структура и содержание дисциплины Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 120 часов.

6 семестр (Формы контроля – 2 контрольные работы, зачет, экзамен).

1 лекция в неделю (2 часа), 1 семинар в неделю (2 часа), самостоятельная работа 3-4 часа в неделю.

5. Образовательные технологии: активные и интерактивные формы

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 1.

Примеры случайных процессов, основанные на семействах независимых случайных элементов (случайные блуждания, процесс восстановления, модель Крамера – Лундберга, эмпирические меры, пуассоновский точечный поток).

Построение последовательности независимых действительных случайных величин, имеющих заданные распределения. Ветвящиеся процессы Гальтона – Ватсона. Вероятность вырождения.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 2.

Случайные элементы и их распределения.

Случайный процесc как семейство случайных элементов и как одно измеримое отображение в пространство траекторий. Структура цилиндрической сигма-алгебры. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий). Условия согласованности мер на пространствах (R n, B(R n )) в терминах характеристических функций.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций Лекция 3.

Критерий существования процесса с независимыми приращениями в терминах характеристических функций приращений.

Пуассоновский и винеровский процессы как процессы с независимыми приращениями.

Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского процесса, имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию.

–  –  –

Лекция 4.

Конструкция броуновского движения по функциям Шаудера и последовательности независимых гауссовских величин:

а) построение на [0, 1];

б) построение на [0, ).

–  –  –

Лекция 5.

Теоремa Пэли - Винера - Зигмунда (недифференцируемость с вероятностью 1 траекторий броуновского движения в каждой точке t 0).

Модификация процесса.

Теорема Колмогорова - Ченцова (построение модификации, имеющей гельдеровские траектории).

–  –  –

Лекция 6.

Фильтрация.

Марковские моменты, момент остановки.

Примеры.

Первое тождество Вальда.

Марковское и строго марковское свойства броуновского движения.

–  –  –

Лекция 7.

Принцип отражения.

Теорема Башелье (нахождение распределения supt[0,T ] W (t), где W (·) - винеровский процесс).

Набросок доказательства закона повторного логарифма (теорема Хинчина).

–  –  –

Лекция 8.

Слабая сходимость вероятностных мер на метрических пространствах. Теорема А.Д.Александрова (без доказательства).

Сходимость по распределению случайных элементов, ее сохранение при непрерывных отображениях.

Принцип инвариантности (формулировка теорем Донскера и Прохорова). Вывод центральной предельной теоремы (ЦПТ) из функциональной ЦПТ.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

Лекция 9.

Условное математическое ожидание, его свойства. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры. Разложение Дуба.

Дискретный вариант формулы Танака.

Равномерная интегрируемость семейства случайных величин.

Доказательство соотношения ELn (0) (2n/) (Ln (0) - локальное время в нуле).

Теорема Дуба об остановке.

–  –  –

Лекция 11.

Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Различные определения. Примеры.

Доказательство того, что действительный процесс с независимыми приращениями является марковским.

–  –  –

Лекция 12.

Построение марковской цепи по начальному распределению и переходным вероятностям.

Пуассоновский процесс как цепь Маркова.

Однородные марковские процессы.

Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.

–  –  –

Лекция 15.

Формулировки теорем Герглотца, Бохнера-Хинчина.

Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное представление.

Спектральная плотность.

Эргодичность в L2 ().

–  –  –

Лекция 16.

Уравнение Ланжевена.

Процесс Орнштейна-Уленбека.

Интеграл Ито и его свойства.

Формула Ито (без доказательства).

Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных решениях.

–  –  –

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Основная литература Классический университетский учебник А.В.Булинский, А.Н.Ширяев "Теория случайных процессов" М.: Физматлит, 2005.

(1 издание: Булинский А.В., Ширяев А.Н.

Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.)

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

[1] А.Н. Ширяев. Вероятность. Т. 1,2. М.:

МЦНМО, 2005 (третье издание).

[2] Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теориии массового обслуживания и управления запасами. Изд-во МГУ, 1980.

[3] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1972.

[4]* Бриллинджер Д. Анализ временных рядов.

М.: Мир, 1979.

[5] Вентцель А.Д. Курс лекций по случайным процессам. М.: Наука, 1982.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [6]* Вентцель Е.С., Овчаров А.В. Прикладные задачи теории случайных процессов. М.: Наука, 1992.

[7] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1972.

[8] Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1989.

[9]* Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.:

Наука, 1965.

[10]* Дынкин Е.Б., Юшкевич А.П. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1968.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [11]* Дуб Дж. Вероятностные процессы.

Физматгиз, 1953.

[12]* Ито К. Вероятностные процессы. М.:

Наука, 1962.

[13]* Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в задачах и примерах. Изд-во МГУ, 1991.

[14] Крамер Г., Лидбеттер Дж. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1970.

[15] Крылов Н.В. Лекции по случайным процессам (части 1 и 2). Изд-во МГУ, 1987.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

[16]* Ламперти Дж. Случайные процессы.

Киев.: Вища школа, 1983.

[17]* Прохоров А.В., Ушаков А.Ф., Ушаков В.А.

Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1989.

[18] Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. М.: Наука, 1987.

[19]* Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М.: Наука, 1989 (второе издание).

[20] Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. Изд-во МГУ, 1992.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций [21] Ширяев А.Н. Случайные процессы (лекции для студентов 3 курса). Изд-во МГУ, 1972.

[22] Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1988.

Примечание: знаком * отмечена дополнительная литература.

–  –  –

Стандартная программа ОПД Ф 15 Теория случайных процессов Определение случайного процесса, конечномерные распределения, траектории;

теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений (без доказательства). Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с независимыми приращениями; примеры; соотношения между классами. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс.

Критерий Колмогорова непрерывности траекторий; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений;

определение Хинчина пуассоновского процесса.

Среднеквадратическая теория: необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости, стохастический интеграл, Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций процессы с ортогональными приращениями.

Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса, примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем, уравнение Колмогорова-Чепмэна, прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова, время пребывания процесса в данном состоянии.

Процессы гибели и размножения, связь с теорией массового обслуживания, применения к расчету пропускной способности технических систем.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций Программа курса Теория случайных процессов 2010-2011 гг. Лектор проф. Е.В.Булинская

1. Случайный элемент со значениями в измеримом пространстве, определение и примеры.

2. Пространство (R T, B T ).

3. Эквивалентность двух определений случайного процесса.

4. Конечномерные распределения, условия симметрии и согласованности.

5. Конечномерные распределения однозначно определяют меру на B T.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

6. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений.

7. Классы случайных процессов (с независимыми значениями, процессы восстановления, с независимыми приращениями, стационарные в узком и широком смысле, гауссовские, марковские, мартингалы).

8. Теорема о существовании гауссовского процесса с заданными средним и ковариационной функцией.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

9. Виды непрерывности случайных процессов и их связь.

10. Эквивалентность случайных процессов.

11. Необходимые и достаточные условия существования эквивалентного процесса с непрерывными траекториями.

12. Теорема Колмогорова о существовании эквивалентного процесса с непрерывными траекториями.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

13. Условия существования эквивалентного гауссовского процесса с непрерывными траекториями.

14. Два определения винеровского процесса и их эквивалентность.

15. Конструкция винеровского процесса на [0,1].

16. Задание винеровского процесса на полупрямой.

17. Определение пуассоновского процесса, пуассоновский процесс как процесс восстановления.

18. Сепарабельность случайного процесса.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

19. Измеримость случайного процесса, существование измеримой модификации.

20. Интегрируемость траекторий процесса.

21. Недифференцируемость траекторий винеровского процесса.

22. Условное математическое ожидание и его свойства.

23. Мартингал, субмартингал, супермартингал (определения и результат применения выпуклой функции).

24. Лемме Дуба-Мейера.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

25. Мартингальные неравенства.

26. Лемма Дуба о числе пересечений.

27. Теорема об отсутствии разрывов второго рода у субмартингалов.

28. Марковское свойство винеровского процесса.

29. Строго марковское свойство винеровского процесса.

30. Неравенство Леви.

31. Принцип отражения.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

32. Закон повторного логарифма для винеровского процесса.

33. Локальный закон повторного логарифма.

34. Неограниченность вариации винеровских траекторий.

35. Интеграл Ито для ступенчатых функций и его свойства.

36. Интеграл Ито для функций из M2.

37. Формула Ито замены переменных.

38. Стохастический дифференциал.

Е.В.Булинская Случайные процессы2. Цели курса лекций

39. Теорема существования сильного решения стохастического дифференциального уравнения.

40. Теорема единственности.

41. Корреляционная функция и ее свойства.

42. Необходимое и достаточное условие существования предела в среднем квадратичном.

43. Непрерывность процесса в среднем квадратичном.

44. Дифференцируемость процесса в среднем квадратичном.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

45. Интегрируемость процесса в среднем квадратичном.

46. Связь дифференцируемости процесса в среднем квадратичном и дифференцируемости траекторий.

47. Ортогональные случайные меры, структурные меры.

48. Соответствие между ортогональными случайными мерами и процессами с ортогональными приращениями.

49. Стохастический интеграл (от неслучайной функции) и его свойства.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

50. Пример стационарного гауссовского марковского процесса.

51. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса (на основе теорем функционального анализа).

52. Теорема Бохнера-Хинчина.

53. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса.

54. Линейные преобразования неслучайных функций.

55. Допустимый фильтр.

Е.В.Булинская Случайные процессы

2. Цели курса лекций

56. Примеры фильтров.

57. Решение дифференциального уравнения как допустимый фильтр.

58. Сигулярные и регулярные процессы.

59. Разложение Вольда.

60. Прогноз стационарного процесса

–  –  –

Кроме лекций имеются семинарские занятия, следующие прочитанному материалу.

Лектор каждый раз сообщает преподавателям, ведущим семинары, что было прочитано, а также, какой материал желательно разобрать (иногда дается набор задач, необходимых для усвоения следующих лекций).

В свою очередь, преподаватели информируют лектора (часто по электронной почте) о решенных задачах и заданных на дом.

Ведется контроль за выполнением домашних заданий.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Задачи составили доценты А.Д.Манита, А.П.Шашкин.

Контрольная работа 1

1. Пусть случайная величина Y - стандартная нормальная, а случайный процесс X = {Xt, t 0} задан равенством Xt = tI{t |Y |}. Проверить, непрерывен ли X по вероятности. Найти конечномерные распределения 1 и 2 порядка.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

2. Найти ковариационную функцию случайного процесса exp{Wt }, где Wt - винеровский процесс.

3. Частица находится в одной из вершин единичного куба в трехмерном пространстве. В каждую единицу времени она выбирает одну из вершин, соседних с той, где она находится (каждую из таких - с одинаковой вероятностью), и переходит в нее. Сколько в среднем времени пройдет, прежде чем частица в первый раз придет в вершину, противоположную стартовой?

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами Контрольная работа 2

1. Найти cov(Y0, Y2 ), если Yt = dXt /dt, а процесс X = {Xt, t 0} стационарен и имеет спектральную плотность f () = exp{2 /2}.

2. Пусть S0 = 0, Sn = X1 +... + Xn, где случайные величины (Xn, n N) независимы и принимают значения 1 и -1 с одинаковыми вероятностями. При каких вещественных случайный процесс Mn = exp{Sn n} является: а) мартингалом; б) субмартингалом?

–  –  –

Задачи к зачету

1. Найти все такие a, b R, что Xt = exp{aWt + bt} - мартингал (Wt винеровский процесс).

2. Найти все такие a, b R, что Xt = exp{aNt + bt} - мартингал (Nt пуассоновский процесс с параметром 0).

3. Найти все такие a, b R, что Wt4 + atWt2 + bt 2 - мартингал (Wt - винеровский процесс).

–  –  –

4. Найти все такие a, b, c R, что Nt2 + atNt + bt 2 + ct - мартингал (Nt пуассоновский процесс с параметром 0).

5. Отрезок единичной длины ломается в равномерно выбранной случайной точке.

Берется больший из получившихся двух отрезков и снова ломается в случайной точке, равномерно распределенной на этом отрезке, и т.д. Все разломы делаются независимо. Пусть Xn

- длина отрезка, полученного после n разломов.

Найти такое c 0, что c n Xn - мартингал.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

6. Пусть Wt - винеровский процесс и = inf{t 0 : Wt = a}, где a 0. Найти Ee для любого 0.

7. Пусть стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ таков, что Xn = Xn2 /16 + n.

Здесь n независимы, En = 0, Dn = 1. Найти спектральную меру процесса X.

8. Найти ковариационную функцию процесса Xt = cos Wt (Wt - винеровский процесс).

9. Найти ковариационную функцию процесса Xt = cos Nt (Nt - пуассоновский процесс с параметром 0).

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

10. Найти ковариационную функцию процесса Xt = I{Nt = 0} (Nt - пуассоновский процесс с параметром 0).

11. Случайный процесс Y = (Yt )tR стационарен и имеет спектральную плотность 1/(1 + 2 ).

Найти DX0, где процесс X есть решение уравнения Xt Xt = Yt.

12. Случайный процесс Y = (Yt )tR стационарен и имеет спектральную плотность |3 | exp{2 /2}. Найти DX0, где процесс X есть решение уравнения Xt = Yt.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

13. Пусть стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ таков, что Xn = Xn2 /4 + Xn1 /4 + n. Здесь n независимы, En = 0, Dn = 1. Найти cov(X1, X3 ).

14. Найти D 0 I{Ws 0} dWs (Wt винеровский процесс).

15. Случайный процесс X = (Xt )tR стационарен и имеет ковариационную функцию R(t) = 1/(1 + t 2 ), найти его спектральную плотность.

Е.В.Булинская Случайные процессы

3. Работа со студентами

16. Случайный процесс X = (Xt )tR стационарен и имеет ковариационную функцию R(t) = exp{|t|} cos t, найти его спектральную плотность.

17. Стационарный случайный процесс X = (Xn )nZ задан равенством Xn = (n + n1 )2, где величины n независимые и стандартные нормальные. Найти спектральную плотность X.

18. Найти дифференциал случайного процесса t Yt = Wt 0 esWs dWs.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

19. Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем в среднем квадратическом.

20. Процесс Xn (n - целое неотрицательное) описывает движение частицы, выходящей из точки 0. Если частица в момент n была в одной из точек множества {1, 0, 1, 2}, то она делает скачок вправо на единицу, скачок влево на единицу либо остается на месте с вероятностями соответственно 1/2, 1/6 и 1/3.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

Достигнув точек 2 либо 3, она на следующем шаге обязательно переходит в точку 1 и 2 соответственно (происходит отражение от экрана). Все скачки друг от друга независимы.

Найти:

а) математическое ожидание числа возвращений в нуль, которые произошли до первого отражения;

б) предел вероятности limn P(Xn = 0).

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

Успешному овладению теорией случайных процессов и другими разделами теории вероятностей помогает наличие на кафедре разнообразных спецкурсов и спецсеминаров.

Спецкурсы кафедры теории вероятностей в весеннем семестре 2011-2012гг. (обязательные)

1. Дополнительные главы теории вероятностей проф.

Сенатов В.В.

2. Дополнительные главы математической статистики доц. Болдин М.В.

3. Многомерный статистический анализ асс.

Ряднова Е.М.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

4. Актуарная математика - 3 (Теория разорения) проф.

Виноградов О.П.

5. Финансовая математика -1 доц. Жуленев С.В.

6. Финансовая математика - 3 преп. Алиев А.Ф.

7. Статистика случайных процессов доц. Лебедев А.В.

Курсы EНС

1. Приложения вероятностных методов проф.

Тутубалин В.Н.

2. Быстрое динамо в случайном потоке проф.

Соколов Д.Д.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

Спецкурсы по выбору студента (3-5 курс)

1. Введение в теорию массового обслуживания проф.Афанасьева Л.Г.

2. Стохастические модели в теории запасов и страховании проф. Булинская Е.В.

3. Вероятностно-статистические методы анализа генетических данных проф. Булинский А.В.

4. Теория эргодическиx марковских диффузионных процессов проф. Веретенников А.Ю.

5. Гиббсовские случайные поля проф. Малышев В.А.

6. Стохастические модели проф.Фалин Г.И.

7. Статистический анализ данных типа времени жизни Чистякова Н.В.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

Спецсеминары

1. Большой семинар кафедры ТВ проф. Ширяев А.Н.

2. Случайные процессы и стохастический анализ проф.

Ширяев А.Н.

3. Математические методы в теории массового обслуживания проф. Афанасьева Л.Г.

4. Исследование асимптотического поведения и устойчивости стохастических моделей проф.

Афанасьева Л.Г., проф. Булинская Е.В., доц.

Яровая Е.Б., асс. Баштова Е.Е.

5. Проблемы теории запасов и страхования проф.

Булинская Е.В.

Е.В.Булинская Случайные процессы3. Работа со студентами

6. Асимптотический анализ случайных процессов и полей проф. Булинский А.В., доц. Шашкин А.П.

7. Проблемы теории марковских процессов проф.

Веретенников А.Ю.

8. Непараметрическая статистика и временные ряды проф. Тутубалин В.Н., проф. Тюрин Ю.Н., доц.

Болдин М.В., асс. Ряднова Е.М.

9. Компьютерные методы статистики доц. Чепурин Е.В.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Далее приводятся некоторые названия и программы вводных и специальных курсов по случайным процессам (без перевода с французского и английского языка, а также с сохранением написания оригинала) в следующих ведущих научных центрах:

Университет имени Пьера и Мари Кюри (Париж -6), Франция Университет Оксфорда, Великобритания Университет Кембриджа, Великобритания Массачусетский технологический институт, США Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры – Париж-6

–  –  –

Спецкурсы для специализации

3. Mouvement brownien et calcul stochastique – J. Jacod

4. Chaines de Markov et processus de Poisson – J. Lacroix

5. Chaines de Markov, processus de Poisson et Applications – J. Jacod

6. Processus de Markov, application a la dynamique des populations – J. Jacod

7. Introduction aux processus de diusion – P. Prioure Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры – Оксфорд

–  –  –

В Оксфордском университете 5 направлений обучения, среди них Mathematical, Physical & Life Sciences Ответственный за математику Математический институт для него строится новое здание Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры – Институт математики

–  –  –

Объединение 5 университетов для преподавания

– спецкурсы:

Brownian Motion – Prof P Mrters University of o Bath Applied Stochastic Processes – Dr G Pavliotis Imperial College, London Levy processes, the Wiener-Hopf factorisation and applications – Prof A Kyprianou University of Bath Stochastic Partial Dierential Equations – Prof M Hairer University of Warwick Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры Levy Processes and Continuous State Branching Processes October - December 2008. Dr. A. Kyprianou.

This course will be split into two parts. Firstly we shall consider the path structure of a general Levy process, in particular we shall look at the classical Levy-Ito decomposition. From this we shall consider the special cases of subordinators and spectrally one-sided Levy processes. We will discuss some additional properties of these processes in particular the latter.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

In the second part of the course we will look at a particular application of spectrally one-sided Levy processes to the theory of continuous state branching processes. In particular we shall see how certain path properties of spectrally negative processes allow us to understand the behaviour of continuous state branching processes. Some key topics are given below.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Levy-Ito decomposition Subordinators and spectrally one-sided Levy processes Passage problems for spectrally negative Levy processes Continuous-state branching processes The Lamperti transformation Some important martingales Path decompositions of continuous state branching processes.

I will provide electronic notes for the course which will be based on the following book. Introductory lectures on uctuation theory of Levy processes with applications by A.E. Kyprianou, Universitext, Springer. 2006.

–  –  –

University of Cambridge Mathematics Cambridge is renowned for the excellence of its Mathematics course. Equally challenging and rewarding, it oers the opportunity to study a wide range of subjects: everything from black holes to the most abstruse logic problems.

–  –  –

Система обучения математике в Кембридже UCAS code – G100 BA/Math Duration – Three or four years Colleges – Available at all Colleges (Wolfson only oer Part III) Most Colleges don’t encourage deferred entry

–  –  –

Course outline In Year 1, you typically have 12 lectures and two supervisions each week. In the following years, the greater choice and exibility means that the pattern of lectures and supervisions is more irregular, but the average workload is roughly the same. You sit four written examination papers each year. In addition, there are optional computer projects in Years 2 and 3. In the fourth year, each course is examined individually.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Year 1 (Part IA)

In the rst year, you choose one of two pathways:

option (a) Pure and Applied Mathematics, for students intending to continue with Mathematics option (b) Mathematics with Physics, for students who may want to study Physics after the rst year You can still continue with Mathematics in the second year, if you take option (b).

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Part IA introduces you to the fundamentals of

higher mathematics, including:

the study of algebraic systems (such as groups) analysis of calculus probability (Prof. G.R. Grimmett) mathematical methods (such as vector calculus) Newtonian dynamics and Special Relativity

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Year 2 (Part IB) In Part IB, you choose from 17 options available. In most of these, the topics of the rst year are studied in much greater depth. Several new topics are also oered, for example: geometry, electromagnetism, quantum mechanics and uid dynamics, applicable mathematics, which includes statistics and optimisation (a rigorous treatment of topics from decision mathematics), numerical analysis.

There are also optional computational projects (assessed by means of notebooks and programmes submitted before the summer examinations), using computers to solve mathematical problems.

Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры Year 3 (Part II) Year 3 gives you the opportunity to explore your mathematical interests in detail. There’s a very wide choice

including papers such as:

Coding and Cryptography Algebraic Topology Number Theory Cosmology General Relativity Stochastic Financial Models Waves There’s also the option of studying computational projects.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Year 4 (Part III) Part III has a world-wide reputation for training the very best research mathematicians. Progression to Part III, in which over 80 options are oered, normally requires a rst in Part II or a very good performance in Parts IB and II, and successful completion leads to a BA/M Math Master of Mathematics / Master of Advanced Study (Part III of the Mathematical Tripos)

–  –  –

Syllabus (Advanced Stochastic Processes) Massachussets Institute of Technology Course Meeting Times Lectures: 2 sessions / week, 1.5 hours / session Recitations: 1 session / week, 1 hour / session

–  –  –

Description The class covers the analysis and modeling of stochastic processes. Topics include measure theoretic probability, martingales, ltration, and stopping theorems, elements of large deviations theory, Brownian motion and reected Brownian motion, stochastic integration and Ito calculus and functional limit theorems. In addition, the class will go over some applications to nance theory, insurance, queueing and inventory models.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Grading Grading for this class will be based on the bi-weekly homework assignments, a mid-term and a nal exam.

Calendar 1 Probability Basics: Probability Space,

-algebras, Probability Measure 2 Random Variables and Measurable Functions;

Strong Law of Large Numbers (SLLN) 3 Large Deviations for i.i.d. Random Variables

Е.В.Булинская Случайные процессыВедущие научные центры

4 Large Deviations Theory (cont.) (Part 1) Properties of the Distribution Function G (Part 2) 5 Brownian Motion; Introduction 6 The Reection Principle; The Distribution of the Maximum; Brownian Motion with Drift 7 Quadratic Variation Property of Brownian Motion 8 Modes of Convergence and Convergence Theorems 9 Conditional Expectations, Filtration and Martingales 10 Martingales and Stopping Times Е.В.Булинская Случайные процессы Ведущие научные центры 11 Martingales and Stopping Times (cont.);

Applications 12 Introduction to Ito Calculus 13 Ito Integral; Properties 14 Ito Process; Ito Formula 15 Martingale Property of Ito Integral and Girsanov Theorem 16 Applications of Ito Calculus to Finance 17 Equivalent Martingale Measures 18 Probability on Metric Spaces

Е.В.Булинская Случайные процессыВедущие научные центры

19 -elds on Measure Spaces and Weak Convergence 20 Functional Strong Law of Large Numbers and Functional Central Limit Theorem 21 G/G/1 Queueing Systems and Reected Brownian Motion (RBM) 22 Fluid Model of a G/G/1 Queueing System 23 Fluid Model of a G/G/1 Queueing System (cont.) 24 G/G/1 in Heavy-trac; Introduction to Queueing Networks 25 Final Notes and Ongoing Research Questions and Resources Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

MATH6128 Stochastic processes (CRN 25168)

– Our Graduate School in Mathematical Studies has approximately 150 students following Certicate/Diploma/MSc courses in Statistics, Operational Research and Actuarial Science or pursuing research leading to MPhil or PhD degrees in a wide range of mathematical elds.

It oers an excellent environment for postgraduate study and personal development to help you succeed in your chosen area of specialization or research and in your longer term career or academic goals.

Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры Aims and objectives This module aims to introduce the basic ideas in modelling, solving and simulating stochastic processes. Stochastic processes are systems which change in accordance with probabilistic laws.

Examples of such processes are the behaviour of the size of a population, queues, random walks, breakdown of machines. These are all situations which evolve with time according to certain probabilities.

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

However, some are concerned with discrete time, such as the position of a random walk after each step, others with continuous time, like the length of a queue at a supermarket checkout at any time instant. All these are modelled and solved in the module. The mathematical tools used are chiey dierence equations, dierential equations, matrices and generating functions. These will be briey revised at appropriate places in the module.

–  –  –

Syllabus Markov Chain Denition and basic properties Classication of states and decomposition of state space The long term probability distribution of a Markov chain Modelling using Markov chains Time-homogeneous Markov Jump Process

–  –  –

Poisson process and its basic properties Birth and death processes Kolmogorov dierential equations Structure of a Markov jump process Time-inhomogeneous Markov Jump Process Introduction to Brownian Motion Denition and basics

–  –  –

A survival model A sickness and death model A marriage model Sickness and death with duration dependence Basic Principles of Stochastic Modelling Classication of stochastic modelling Markov property in terms of ltration Postulating, estimating and validating a model Simulation of a stochastic model and its applications

Е.В.Булинская Случайные процессы4. Ведущие научные центры

Teaching and learning methods Lectures Resources and reading list

1. Brzezniak Z & Zastawniak T - Basic Stochastic Processes : A Module Through Exercises (Springer, 1998)

2. Grimmett G & Stirzaker D - Probability and Random Processes (3rd Edition) (Oxford University Press, 2001)

3. Grimmett G - Probability and Random Processes : Problems and Solutions (Oxford University Press, 1992) Е.В.Булинская Случайные процессы

4. Ведущие научные центры

4. Hickman JC - Introduction to Actuarial Modelling (North American Actuarial Journal, 1997, 1(3), 1-5) (URL:

http://library.soa.org/library/naaj/1997naaj97071.pdf )

5. Karlin S & Taylor A - A First Module in Stochastic Process (Academic Press, 1975)

6. Kulkarni VG - Modelling, Analysis, Design and Control of Stochastic Systems (Springer, 1999) Assessment methods 80% Written Examination; 20% for 2 Class Tests (10% each) Referral Assessment:: 100% written examination

Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА" ИСТОРИЯ: ФАКТЫ И СИМВОЛЫ Рецензируемый научно-теоретический и прикладной журнал Выпуск 3 (№ 8) / Елец, 20...»

«Т. Г. Фруменкова, доцент кафедры русской истории ИМПЕРАТРИЦА МАРИЯ ФЕДОРОВНА И ФРАНЦУЗСКИЙ КЛАСС ПЕТЕРБУРГСКОГО ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ДОМА (первая половина XIX в.) Вклад императрицы Марии Федоровны, управлявшей воспитательными домами с 1797 по 1828 г., в развитие системы этих учреждений был столь значительным, что одно пе...»

«Потомкам моим близким и дальним Корни семьи Уборских СБОРНИК генеалогических очерков Эпистолярное наследие Война (1941-1945) Глава 1 Составитель Уборский А.В. 2017 г. Эпистолярное наследие. Война (1941 -1945). Глава 1...»

«"Наш край" № 16 от 24 апреля 2015 г. Патриотическое воспитание Эхо войны в киноискусстве – Фильмы, повествующие о подвиге солдат Великой Отечественной войны, тяжелейших, порой нечеловеческих, у...»

«отзыв на диссертациюКадыровой Кристины Алишеровны "Джихад: историческая традиция и основные тенденции интерпретации в ХХначале XXI в.", представленную на соискание ученой степени кандидата исторических наук по специа...»

«. * ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭТНОФОЛЬКЛОРНЫХ ТРАДИЦИЙ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ КАК РЕСУРС МЕЖНАЦИОНАЛЬНОГО СОГЛАСИЯ В СОВРЕМЕННОМ ОБЩЕСТВЕ В статье рассмотрены аспекты этнического многообразия культуры Астраханской област...»

«9/с 127 Б66 Знаменательному событию — разгрому немецко-фашистских войск под Курском посвящена эта книга, представляющая собой главу III тома "Истории Великой Отечественной войны Советского Союза 1941—1945". Разгром немецко-фашист...»

«ISSN 2227-6165 Н.А. Хренов доктор философских наук, профессор, главный научный сотрудник отдела медийных и массовых искусств Государственного института искусствознания nihrenov@mail.ru ПОСТТОТАЛИТАРНЫЙ ПЕРИОД В ИСТОРИИ РОССИЙСКОГО КИНО: РЕЛИГИОЗНАЯ ТРАДИЦИЯ И МАССОВАЯ МЕНТАЛЬНОСТЬ. СТАТЬЯ ПЕРВАЯ В статье исслед...»

«Пояснительная записка. Особое место в развитии личности ребенка занимает искусство, способное развивать чувство прекрасного, формировать высокие эстетические вкусы, умение понимать и ценить произведения искусства, памятники истории и архитектуры, красоту и богатство природы. Занятия живописью выступают ка...»

«Scientific Cooperation Center Interactive plus Кожухова Ольга Валерьевна магистрант Институт филологии, истории и искусств Гуманитарно-педагогической академии (филиала) ФГАОУ ВО "Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского" г. Ялта, Республика Крым СОВРЕМЕННЫЙ ПЕСЕННЫЙ ТЕКСТ КАК КУЛЬТУРНО-ЯЗЫКОВО...»

«С Е Р И Я И С С Л Е Д О ВА Н И Я К УЛ ЬТ У Р Ы ВРЕМЯ, ВПЕРЕД! Культурная политика в СССР Под редакцией И Р И Н Ы Г Л У Щ Е Н КО, В И ТА Л И Я К У Р Е Н Н О Г О Издательский дом Высшей школы экономики МО СКВА, 2013 УДК 351.85 ББК 71.4(2) В81 Составитель серии ВАЛЕРИЙ АНАШВИЛИ Дизайн...»

«Планёрный спорт на "Сухом" В последнее время многие могли видеть поздравительные "Молнии" в адрес сотрудников нашего предприятия, пилотов-планеристов. Сегодня мы хотим познакомить вас с этим замечательным спортом и его "представителями...»

«Введение. Петербург – большая тема русской классической литературы. К тому моменту, как Ф. М. Достоевский писал "Преступление и наказание", здесь была накоплена огромная традиция, на которую можно было опираться, но которой писатель придавал и дальнейшее движение. С Петербургом связывалось много кардинальных острей...»

«УДК-81’373.46 Юнусова Ирина Римовна кандидат филологических наук, доцент. irineyunusova@mail.ru Irina R. Yunusova candidate of philological Sciences, docent. irineyunusova@mail.ru Формирование английской терминологии нефтегазовой промышленности Formation of English oil and gas field terminology Аннотация. В статье рассматривается...»

«ТОВАРЫ ДЛЯ ДЕТСКОГО ТВОРЧЕСТВА Москва, январь 2013 СОДЕРЖАНИЕ История компании 3 Товары для детского творчества 4 Бренды (серии) товаров для детского творчества 5 Малыш 8 Мультики 14 Пчелка 22 Юный художник 30 Лицей 38 Золушка 44 Страна Эльфов...»

«УДК 27-5 ББК 86.37 И 43 Рекомендовано к публикации Издательским Советом Русской Православной Церкви Номер ИС 13-313-2010 Оформление серии Сергея Власова Иларион (Алфеев), митр. И 43 Конец времен: Православное учение / Митрополит Иларион (Алфеев). — М. : Эксмо, 2014. — 224 с. — (Религи...»

«ИНСТИТУТ РУССКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ (ПУШКИНСКИЙ ДОМ) РАН MUSENALMANACH —ф -В честь 80-летия Ростислава Юрьевича Данилевского Нестор-История Санкт-Петербург Содержание Ростислав Юрьевич Данилевский — человек пушкинодомский A. В. Ананьева. Памя...»

«Открытие века: теперь древние письмена заговорили! ИЕРОГЛИФЫ ФЕСТСКОГО ДИСКА Дата перевода – 9 февраля 2010 года Виталий Сурнин Из цикла – "КНИГА ЕГИПТЯНИНА: начало фундаментальной египтологии или ключ к пониманию истории, философии и религий мира". ИЕРОГЛИФЫ ФЕСТСКОГО ДИСК...»

«НаучНый диалог. 2015 Выпуск № 12(48) / 2015 Чикова В. А. Взаимодействие светского и церковного начал в общественной жизни России в середине XVIII века / В. А. Чикова // Научный диалог. — 2015. — № 12 (48). — С. 400—411. УДК 322(47+57)“18” Взаимодействие светского и церковного начал в общественной...»

«УДК 378.1:7.05+159.937.51 © Заргарян И. В. ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ КОЛОРИСТИЧЕСКОГО ВОСПРИЯТИЯ В ПОДГОТОВКЕ ДИЗАЙНЕРОВ Постановка проблемы. На современном этапе специальность "Дизайн"...»

«Экспонируемая литература к выставке "Хранитель истории края : Саратовский областной музей краеведения. К 125-летию со дня основания". Литература о музее краеведения. 1. 658725 Краткий путеводитель по залам музея / Сара...»

«М. И. Роднов СВЕТ ИЗ ПЕТЕРБУРГА Уфа – 2010 УДК [070 (09): 947]: 470.4/5 ББК 76.01: 63,5 (2) 5 (235.55) Роднов М. И. Свет из Петербурга / М. И. Роднов. – Уфа:., 2010. – 158 с. Это последняя часть трилогии по истории уфимской прессы XIX столетия, начало – "У истоков уфимской прессы, вкупе с...»

«Х акасски й н а учн о-исслед овательский институт язы к а, л и т е р а т у р ы и истории ИСТОРИЯ ХАКАСИИ С ДРЕВНЕЙШИХ ВРЕМЕН ДО 1917 ГОДА М оск ва "Н А У К А " И з д а т е л ь с к а я фирма " В о с то ч н ая л и т е р а т у р а " ВВЕДЕНИЕ В ц е н т р е Ю ж н о й С и б и ри, в д о л и н а х р. А б а к а н и ее м н о г о ­ ч и с л е н н ы х п ри то к...»

«ИВАН МИРОНОВ ¬–¬— — Император Александр II, “Освободитель” и “Реформатор”, является политическим символом просвещенного либерализма, его принято пред ставлять лучом света в кромешной тьме “реакционного” царизма, отцом демократических свобод и социальных преобразований. Именно эта конъ юнктура определяет сегодня освещение и...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.