WWW.KNIGA.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Онлайн материалы
 

«1. Введение в предмет исследования Основной темой предлагаемого проекта является топологическая теория торических действий и её применения в алгебраической топологии, комбинаторной ...»

2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Введение в предмет исследования

Основной темой предлагаемого проекта является топологическая теория торических действий и её применения в алгебраической топологии, комбинаторной геометрии, коммутативной и гомологической алгебре. В рамках этих исследований возникла новая активно

развивающаяся область, ставшая известной под названием Торическая Топология.

Общая теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область эквивариантной топологии. Торическая топология изучает алгебраические, комбинаторные, дифференциальные и гомотопические аспекты класса действий тора, для которых пространство орбит несёт богатую комбинаторную структуру. Особенностью этой области является возможность вычисления инвариантов в терминах комбинаторики пространства орбит, а одной из основных целей является классификация торических пространств при помощи этих инвариантов.

Первоначальный импульс этому развитию придала теория торических многообразий в алгебраической геометрии. Пространством орбит неособого проективного торического многообразия по действию компактного тора T n представляет собой выпуклый простой многогранник P. Двойственный многогранник является симплициальным, а его граница является симплициальным комплексом K. Таким образом, пространство орбит действия тора несёт комбинаторную структуру, отражающую распределение стационарных подгрупп и позволяющую полностью восстановить многообразие и действие. Замечательно, что этот подход работает и в обратном направлении: в терминах топологических инвариантов пространства с действием тора удаётся интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты топологически. Эта особенность алгебраических торических многообразий имеет чисто топологическую природу, что вызвало активное проникновение идей и методов торической геометрии в алгебраическую топологию с начала 1990-х годов.



Дальнейшие исследования выявили два важных класса T n -многообразий, происхождение которых восходит к торическим многообразиям, предоставляющих возможности для приложения методов торической топологии в комбинаторике и коммутативной алгебре. Первый из них — это квазиторические многообразия Дэвиса–Янушкиевича [11]. Этот класс многообразий определяется двумя условиями: действие тора локально выглядит как стандартное представление T n в комплексном пространстве Cn, а пространство орбит Q является комбинаторным простым многогранником. (Оба условия выполнены для действия тора на неособом проективном торическом многообразии.) Второй, намного более общий класс — это тор-многообразия Хаттори–Масуды [12]. Тор-многообразие M представляет собой 2nмерное гладкое компактное многообразие с эффективным действием тора T n, множество неподвижных точек которого непусто (заметим, что оно всегда конечно).

Стенли был одним из первых, кто осознал полный потенциал этого направления для комбинаторных приложений, использовав его для доказательства гипотезы Макмюллена о числах граней симплициальных многогранников и гипотезы о верхней границе для триангуляций сфер. Его результаты и методы легли в основу известной монографии [20] и предопределили дальнейшие приложения коммутативной алгебры и гомологических методов в комбинаторной геометрии.

Многие идеи Стенли находят и топологическое применение; в частности, кольцо граней (или кольцо Стенли–Райснера) Z[K] симплициального комплекса K является важной составляющей в вычислении кольца когомологий квазиторического многообразия M. В ходе Заявка Т. Е. Панова на конкурсы П. Делиня и фонда “Династия”.





2 2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ своего вычисления этого кольца Дэвис и Янушкиевич сопоставили некоторое вспомогательное T m -пространство ZK каждому комплексу K с m вершинами, и рассмотрели его гомотопическое факторпространство (или конструкцию Бореля) DJ(K). Определение пространства ZK навеяно конструкцией Винберга универсального пространства для групп отражений и аналогично определению комплекса Кокстера. Кольцо когомологий пространства DJ(K) (или эквивариантные когомологии многообразия M )) изоморфно кольцу граней Z[K] для любого K. Кольцо обычных когомологий H (M ) получается из Z[K] факторизацией некоторых линейных форм, в точности как и для торических многообразий.

С появлением понятия кольца граней стало ясно, что многие тонкие комбинаторные свойства комплексов K можно интерпретировать алгебраически. Изучение колец граней получило самостоятельное развитие и привело к новому классу колец Коэна–Маколея, имеющих геометрическую природу. В частности, возникло новое топологическое понятие комплекса Коэна–Маколея, для которого Z[K] является кольцом Коэна–Маколея. Подробное изложение этих понятий можно найти в монографии [6], где также подчёркивается важность гомологического подхода. Например, в [20] и [6] рассматриваются размерности биградуированных компонент векторных пространств Tork[v1,...,vm ] (k[K], k), называемые алгебраическими числам Бетти кольца k[K], для любого поля k. Эти числа являются весьма тонкими инвариантами: они зависят от комбинаторики K, а не только от топологии его реализации |K|, и полностью определяют “обычные” топологические числа Бетти для |K|. Теорема Хохстера выражает алгебраические числа Бетти через гомологии полных подкомплексов в K.

2. Проведённые исследования Результаты, полученные Т. Пановым и соавторами в рамках исследований по торической топологии составляют необходимую основу для успешного выполнения проекта. Изложению результатов о квазиторических многообразиях и момент-угол комплексах, их роли в торической топологии и приложениям в комбинаторной геометрии и гомологической алгебре посвящена монография Бухштабера и Панова [9], вышедшея в серии “University Lecture Series” Американского Математического общества. В 2004 году появилось её существенно расширенное русском издание [4]. Многие результаты получили дальнейшее развитие в работах Панова с другими соавторами.

Роды Хирцебруха торических и квазиторических многообразий. Работы Бухштабера–Рэя показали [7], что квазиторические многообразия играют важную роль в теории комплексных кобордизмов — классической области алгебраической топологии. В отличие от торических многообразий, квазиторические многообразия могут не быть комплексными, однако они всегда допускают стабильно комплексную структуру, и их классы кобордизмов порождают всё кольцо комплексных кобордизмов. Стабильно комплексная структура на квазиторическом многообразии определяется в комбинаторных терминах — при помощи характеристической функции, сопоставляющей каждой гиперграни многогранника P n некоторый примитивный вектор в Zn (характеристическая функция играет роль веера, сопоставляемого торическому многообразию в алгебраической геометрии).

В работе Панова [5] получены эффективные комбинаторные формулы, вычисляющие ряд важных родов Хирцебруха квазиторических многообразий в терминах характеристической функции. Эти формулы переносят на случай квазиторических многообразий известные результаты торической геометрии, опирающиеся на теорему Римана–Роха–Хирцебруха. В случае старшего числа Чженя cn и рода Тодда формулы Панова приводят к препятствиям к существованию эквивариантной почти комплексной структуры на квазиторическом многообразии, что является важным продвижением в проблеме, поставленной Дэвисом и Янушкиевичем [11].

Момент-угол комплексы. Теория момент-угол комплексов, одним из создателей которой является Т. Е. Панов, представляет собой один из основных инструментов современных приложений торической топологии. Момент-угол комплексы тесно связаны с торическими и квазиторическими многообразиями и своим происхождением обязаны работе [11], где каждому симплициальному комплексу K с m вершинами было сопоставлено вспомогательное T m -пространство ZK. Вскоре стало ясно, что пространства ZK представляют отдельный большой интерес в торической топологии, и они получили известность под названием

2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ 3 момент-угол комплексов [9]. Они возникают в теории гомотопий как гомотопические копределы диаграмм торов [18], в симплектической топологии как поверхности уровня для отображений моментов гамильтоновых действий тора [17] и в теории конфигураций подпространств как дополнения конфигураций координатных подпространств [9, Ch. 8]. Конструкция момент-угол комплексов даёт функтор из категории симплициальных комплексов и симплициальных отображений в категорию пространств с действием тора и эквивариантных отображений. Если K является триангуляцией (n 1)-мерной сферы, то ZK является (m + n)-мерным многообразием. Более того, если K = P — триангуляция сферы, двойственная к границе простого многогранника, то имеется главное T mn -расслоение ZK M для любого (квази)торического многообразия M с пространством орбит P.

Когомологии момент-угол комплексов и кольца граней. В работе [1] вычислены когомологии момент-угол комплекса ZK. Доказан изоморфизм алгебры когомологий H (ZK ) и Tor-алгебры TorZ[v1,...,vm ] (Z[K], Z), где Z[K] — кольцо граней комплекса K. При этом показано, что каноническая биградуировка в Tor имеет явную геометрическую реализацию, обусловленную введённой в ZK биградуированной клеточной структурой. Дальнейший анализ привёл к эффективному описанию Tor-алгебры в терминах комплекса Кошуля, которое открыло пути применения известных пакетов компьютерных программ (Масаulay2, Bistellar и др.) для вычислений в комбинаторной геометрии.

Дополнения конфигураций подпространств. Область приложения результата о когомологиях ZK оказалась широкой благодаря тому, что момент-угол комплексы ZK имеют различные, на первый взгляд не связанные между собой, реализации. В каждом случае получается решение известной задачи об описании соответствующего кольца когомологий.

В частности, теорема Бухштабера–Панова о момент-угол комплексах даёт исчерпывающее глобальное описание кольца когомологий дополнения конфигурации координатных подпространств. Отметим, что известные результаты о когомологиях дополнений конфигураций координатных подпространств либо не описывают мультипликативной структуры (как общая теорема Горески–Макферсона), либо дают лишь описание произведения двух данных коциклов в комбинаторных терминах (как недавние результаты де Лонгвилле).

Векторы граней (f -векторы). Вычисление когомологий момент-угол комплексов имеет непосредственное отношение к классу комбинаторных проблем, связанных с векторами граней многогранников и триангуляций. Вектором граней, или f -вектором, (n 1)мерного симплициального комплекса K называется вектор, компонентами fi которого являются числа граней размерности i = 0,..., n 1. Многие важные свойства f -векторов могут быть описаны путём выражения их в терминах чисел Бетти момент-угол комплексов.

Открытая в теории момент-угол комплексов биградуированная двойственность Пуанкаре в случае триангуляции сферы приводит к известным соотношениям Дена–Соммервилля на числа граней fi размерности 0 i n 1 в триангуляции. Эти соотношения имеют вид hi = hni, где h(K) = (h0, h1,..., hn ) — так называемый h-вектор, компоненты которого являются линейными комбинациями чисел fi. Более тонкий анализ двойственности Пуанкаре позволил получить обобщённые соотношения Дена–Соммервилля вида hni hi = (1)i ((K) (S n1 ))Cn для триангулированных многообразий.

i Торическая топология и геометрическая теория инвариантов. Недавно методы торической топологии и, в частности, теория момент-угол комплексов нашли применения в теории действий алгебраических групп. В работе Панова [17] построены множества типа Кемпфа–Несс для действий алгебраического тора на некоторых квазиаффинных многообразиях и описана топология этих множеств. В классической ситуации действий алгебраических групп на аффинных многообразиях понятие множества Кемпфа–Несс позволяет заменить категорный фактор на факторпространство по действию максимальной компактной подгруппы. Мы показываем, что момент-угол комплекс играет роль множества Кемпфа– Несс для класса действий алгебраического тора на квазиафинных многообразиях (дополнениях конфигураций координатных подпространств), возникающих в подходе Батырева– Кокса к торическим многообразиям на основе геометрической теории инвариантов. Затем мы применяем наши результаты о когомологиях момент-угол комплексов в вычислению когомологий этих “торических” множеств Кемпфа–Несс. В случае неособых проективных 4 2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ торических многообразий соответствующие множества Кемпфа–Несс могут быть описаны как полные пересечения вещественных квадрик в комплексном пространстве.

Аналогичные многогранники и кобордизмы квазиторических многообразий.

В работе Бухштабера–Панова–Рэя [10] методы выпуклой геометрии и, в частности, теория аналогичных многогранников применяются для изучения квазиторических многообразий в контексте стабильно комплексных многообразий с действием тора. Понятие аналогичных многогранников впервые появилось в работах Александрова в 1930-х годах, а затем теория аналогичных многогранников получила существенное развитие в недавних работах Пухликова и Хованского. Наши приложения этой теории включают явную конструкцию квазиторического представителя в каждом классе комплексных кобордизмов. Квазиторический представитель строится как факторпространство вещественного полного пересечения квадратичных гиперповерхностей по действию тора. Это полное пересечение есть ни что иное, как ещё одна интерпретация момент-угол комплекса. Мы предлагаем систематическое описание квазиторических многообразий в терминах комбинаторных данных, и описываем взаимосвязь с неособыми проективными торическим многообразиями. Интерпретируя в этих терминах подход Бухштабера–Рэя [7] к построению торических представителей в классах кобордизмов мы явно описываем оснащение вложения многогранника в положительный октант и даём конструкцию связной суммы многогранников и квазиторических многообразий, учитывающую ориентации. Применение теории аналогичных многогранников предоставляет замечательный инструмент для работы с пространствами орбит.

Гомотопические аспекты торической топологии. Различные конструкции гомотопических прямых пределов в последнее время часто возникают в приложениях гомотопической топологии. В работе Панова, Рэя и Фогта [18] было доказано, что функторы классифицирующего пространства и пространства петель коммутируют с функтором гомотопического прямого предела (с классическим функтором прямого предела они не коммутируют).

В качестве следствия получены модели пространств петель на момент-угол комплексах и их конструкциях Бореля — пространствах Дэвиса–Янушкиевича DJ(K) — в виде гомотопических прямых пределов диаграмм торов в категории топологических групп.

Полусвободные действия окружности и башни Ботта. Башней Ботта называется итерированное расслоение над CP 1 со слоем CP 1. Тотальное пространство такого расслоение является проективным торическим многообразием, причём образ его отображения моментов является многогранником, комбинаторно эквивалентным кубу. Действие окружности называется полусвободным, если оно свободно на дополнении к множеству неподвижных точек. В работе [13] Маэды–Масуды–Панова мы показываем, что квазиторическое многообразие над кубом с полусвободным действием окружности и изолированными неподвижными точками является башней Ботта. Затем мы показываем, что такая башня Ботта топологически тривиальна, т.е. диффеоморфна произведению 2-мерных сфер. Это обобщает недавний результат Ильинского, согласно которому неособое компактное торическое многообразие с полусвободным действием окружности и изолированными неподвижными точками диффеоморфно произведению 2-мерных сфер, и является дальнейшим продвижением в проблеме Хаттори о полусвободных действиях окружности. Кроме того, мы показываем, что если кольцо когомологий квазиторического многообразия (или башни Ботта) изоморфно кольцу когомологий произведения 2-мерных сфер, то само многообразие диффеоморфно произведению.

3. Проект будущих исследований В рамках проекта планируется продолжить исследования по всем направлениям из предыдущего раздела. Особое внимание планируется уделить следующим трём аспектам торической топологии.

1. Продолжить изучение квазиторических многообразий в контексте комплексных кобордизмов, начатое в работах Бухштабера–Рэя и Бухштабера–Панова–Рэя. Главной целью является построение чисто комбинаторной модели теории комплексных кобордизмов. Используя наличие квазиторического представителя в каждом классе комплексных кобордизмов,

2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ 5 мы можем описывать классы кобордизмов при помощи пар (P, ), где P — простой многогранник, а — матрица характеристической функции. Операция суммы в кобордизмах соответствует связной сумме многогранников, а произведения — произведению многогранников. Для вычисления кольца комплексных кобордизмов на основе этой комбинаторной модели необходимо иметь эффективное описание характеристических чисел Чжена стабильно комплексных квазиторических многообразий в терминах комбинаторных данных.

Первые результаты в этом направлении — вычисления мультипликативных характеристических чисел, или родов Хирцебруха, уже получены в предыдущих работах Панова.

2. Изучить гомотопический тип момент-угол комплексов ZK и их пространств петель путём построения соответствующих алгебраических моделей. Так как рациональный гомотопический тип пространства ZK содержит в себе значительно больше информации, чем кольцо когомологий, он также содержит больше информации о комбинаторной структуре самого комплекса K. В частности, на этом пути может быть возможно получение неравенств на числа граней, а не лишь соотношений Дена–Соммервилля. Это может пролить свет на некоторые известные комбинаторные проблемы, такие как g-гипотеза Макмюллена и Стенли для триангуляций сфер. Гомотопическая точка зрения приводит к анализу пространства петель DJ(K). В работе [18] это пространство было представлено в виде гомотопического копредела диаграммы торов в категории (неабелевых) топологических групп. Особый интерес представляют гомологии и когомологии пространства DJ(K), так как они дают топологическую интерпретацию гомологическим инвариантам кольца граней k[K]. Вычисления на основе кобар-конструкции Адамса позволяют отождествить кольцо Понтрягина H (DJ(K); k) алгеброй Йонеды Extk[K] (k, k) над полем k. В то же время, спектральная последовательность Эйленберга–Мура приводит к изоморфизму кольца когомологий H (DJ(K); k) и алгебры Tork[K] (k, k). Обе эти алгебры имеют весьма сложную структуру, и их вычисление представляет самостоятельный алгебраический интерес. Так как пространство DJ(K) раскладывается в произведение ZK T m для любого комплекса K, мы получаем также описание (ко)гомологий пространства ZK.

Вычисления для несложных комплексов K показывают, что наиболее простая картина получается в случае, когда K — флаговый комплекс (т.е. K определяется своим 1-остовом).

В этом случае k[K] является квадратичной алгеброй. Известно, что квадратичная алгебра Стенли–Райснера является кошулевой. Тем самым, её квадратично двойственная алгебра изоморфна H (DJ(K); k). Эта алгебра представляется как копредел внешних алгебр в категории (некоммутативных) градуированных алгебр. Сопоставляя это с геометрической моделью для DJ(K), мы приходим к предположению, что для произвольного комплекса K алгебра H (DJ(K); k) (или Extk[K] (k, k)) представляется в виде гомотопического копредела диаграммы внешних алгебра в категории дифференциальных градуированных алгебра. Доказательство этой гипотезы потребует тонкого анализа конструкции гомотопического копредела в алгебраических категориях.

3. Башни Ботта, или итерированные CP 1 -расслоения над CP 1 образуют важное семейство торических многообразий. Обобщив результаты Масуды–Панова мы планируем завершить топологическую классификацию башень Ботта в терминах их колец когомологий.

4. Преподавательский опыт и педагогические планы С 1998 г. работаю преподавателем кафедры высшей геометрии и топологии механикоматематического факультета МГУ (с 2001 г. — доцент). Веду курсы аналитической геометрии (для студентов 1 курса), линейной алгебры и геометрии (1 курс), классической дифференциальной геометрии (2 курс), дифференциальной геометрии и топологии (3 курс). Кроме того, ежегодно читаю специальные курсы по различным аспектам алгебраической топологии (характеристические классы, кобордизмы, K-теория и т.д.). В 2007 г. буду читать специальный курс “Дополнительные главы алгебраической топологии” в Научно-образовательном центре Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

6 2. ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ Список литературы [1] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора и комбинаторика многогранников. Труды Матем. Инст.

им. В. А. Стеклова, т. 225 (1999), стр. 96–131; arXiv:math.AT/9909166.

[2] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Действия тора, комбинаторная топология и гомологическая алгебра.

Успехи мат. наук 55 (2000), вып. 5, стр. 3–106; arXiv:math.AT/0010073.

[3] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Комбинаторика симплициально клеточных комплексов и торические действия. Труды Матем. Инст. им. В. А. Стеклова, т. 247 (2004), стр. 41–58.

[4] В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Издательство МЦНМО, Москва, 2004 (272 стр.).

[5] Т. Е. Панов. Роды Хирцебруха многообразий с действием тора, Известия РАН, сер. матем. 65 (2001), вып. 3, стр. 123–138.

[6] Winfried Bruns and Jrgen Herzog. Cohen–Macaulay Rings, revised edition. Cambridge Studies in Adv.

u Math., vol. 39, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998.

[7] Victor M. Buchstaber and Nigel Ray. Tangential structures on toric manifolds, and connected sums of polytopes. Internat. Math. Res. Notices 4 (2001), 193–219.

[8] V. M. Buchstaber and T. E. Panov. Torus actions determined by simple polytopes, in: “Geometry and Topology: Aarhus"(K. Grove, I. H. Madsen, and E. K. Pedersen, eds.). Contemporary Math., vol. 258, Amer.

Math. Soc., Providence, RI, 2000, pp. 33–46.

[9] Victor M. Buchstaber and Taras E. Panov. Torus actions and their applications in topology and combinatorics, University Lecture, vol. 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002 (152 pages).

[10] Victor M. Buchstaber, Taras E. Panov and Nigel Ray. Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds. Submitted preprint; arXiv:math.AT/0609346.

[11] Michael W. Davis and Tadeusz Januszkiewicz. Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions. Duke Math. J. 62 (1991), no. 2, 417–451.

[12] Akio Hattori and Mikiya Masuda. Theory of multi-fans. Osaka J. Math. 40 (2003), 1–68; math.SG/0106229.

[13] Hiroshi Maeda, Mikiya Masuda and Taras Panov. Torus graphs and simplicial posets. Advances in Math.

(2007), to appear; arXiv:math.AT/0511582.

[14] Mikiya Masuda. h-vectors of Gorenstein* simplicial posets. Advances in Math. 194 (2005), no. 2, 332–344;

arXiv:math.CO/0305203.

[15] Mikiya Masuda and Taras Panov. On the cohomology of torus manifolds. Osaka J. Math. 43 (2006), 711–746;

arXiv:math.AT/0306100.

[16] Mikiya Masuda and Taras Panov. Semifree circle actions, Bott towers, and quasitoric manifolds. Preprint;

arXiv:math.AT/0607094.

[17] Taras E. Panov. Topology of Kempf–Ness sets for algebraic torus actions, in “Proceedings of the International Conference ‘Contemporary Geometry and Related Topics’ (Belgrade, 2005)”, to appear;

arXiv:math.AG/0603556.

[18] Taras Panov, Nigel Ray and Rainer Vogt. Colimits, Stanley–Reiner algebras, and loop spaces, in: “Categorical Decomposition Techniques in Algebraic Topology (Isle of Skye, 2001)”, Progress in Math., vol. 215, Birkhuser, Basel, 2004, pp. 261–291; arXiv:math.AT/0202081.

a [19] Richard P. Stanley. f -vectors and h-vectors of simplicial posets. J. Pure Appl. Algebra. 71 (1991), 319–331.

[20] Richard P. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra, second edition. Progress in Math. 41, Birkhuser, Boston, 1996.

a



Похожие работы:

«УСЛОВНЫЙ РЕФЛЕКС Пьеса в трех действиях Действующие лица: Василиса молодая русская женщина, с сыном от первого брака Поль муж Василисы, женевский адвокат Георгий отец Василисы,...»

«Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа д. Чуртан Разработка урока по окружающему миру во 2 классе Тема: Родина – что это значит? Разработал учитель начальных классов Газизо...»

«Роговицкий Дмитрий Александрович НАРОДНАЯ ПАРТИЯ И ИСПАНСКАЯ СОЦИАЛИСТИЧЕСКАЯ РАБОЧАЯ ПАРТИЯ В 1996–2004 гг.: РАЗНОГЛАСИЯ И КОНСЕНСУС Раздел 07.00.00 – исторические науки Специальность 07.00.03 – всеобщая история Автореферат диссертации на соискание уче...»

«ТРОЯНСКАЯ СВЕТЛАНА ЛЕОНИДОВНА РАЗВИТИЕ ОБЩЕКУЛЬТУРНОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ СТУДЕНТОВ СРЕДСТВАМИ МУЗЕЙНОЙ ПЕДАГОГИКИ (на примере подготовки будущих педагогов) 13.00.01 Общая педагогика, история педагогики и образования Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических нау...»

«СИСТЕМЫ ЭНЕРГОМЕНЕДЖМЕНТА В УКРАИНЕ: История развития и современное состояние.ENERGY MANAGEMENT SYSTEM IN UKRAINE: History and status. Иншеков Е.Н., к.т.н. Институт Энергосбережения и Энергоменеджмента НТУУ “КПИ”, Украина Inshekov Е.N., Ph.D Institute for Energy Saving and Energy Management NTUU “KPI”,...»

«Владимир Хазан Пинхас Рутенберг. От террориста к сионисту. Том II: В Палестине (1919–1942) Текст предоставлен правообладателем http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=5901329 Пинхас Рутенберг. О...»

«Социальные реалии вчера и сегодня © 1992 г. Е. ВЯТР ВОСТОЧНАЯ ЕВРОПА: СУДЬБЫ ДЕМОКРАТИИ* ВЯТР Ежи — профессор Варшавского университета, автор многих работ по актуальным проблемам политической науки и социологии. В нашем журнале публикуется впервые. Кризис тоталитарного режима в Советском Союзе и Восточной Европе поставил в повестку дня ряд вопр...»

«УДК 378.1:7.05+159.937.51 © Заргарян И. В. ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ КОЛОРИСТИЧЕСКОГО ВОСПРИЯТИЯ В ПОДГОТОВКЕ ДИЗАЙНЕРОВ Постановка проблемы. На современном этапе специальност...»

«Казимир Феликсович Валишевский Дочь Петра Великого http://www.litres.ru/pages/biblio_book/?art=122969 Аннотация "Она была дочерью Петра Великого. Родившись вдали от трона, она была вознесена на него, потому что в ее жилах текла кровь величайшего из Ру...»

«П.О. Рыкин О СЕМАНТИКЕ И ЭТИМОЛОГИИ ТЕРМИНА СВОЙСТВА ABULIN EME В "ТАЙНОЙ ИСТОРИИ МОНГОЛОВ" Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ (проект № 07-04-92310а/G "Проблемы комплексного исследования "Сокровенного сказания монголов" /"Монголын нууц товчоо"/). В начальной, "генеалогическ...»








 
2017 www.kniga.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - онлайн материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.